浮點數的表示和運算

摘要： https://www.cnblogs.com/FlyingBread/archive/2009/02/15/660206.html 1 浮點數的表示IEEE754用下面的格式來表示浮點數 S P M 其中S是符號位，P是階...

ofollow,noindex" target="_blank"> https://www.cnblogs.com/FlyingBread/archive/2009/02/15/660206.html

1 浮點數的表示

IEEE754用下面的格式來表示浮點數

S

P

M

其中S是符號位，P是階碼，M是尾數
單精度浮點數是32位（即4位元組）的，雙精度浮點數是64位（即8位元組）的。兩者的S，P，M所佔的位數以及表示方法由下表可知

以單精度浮點數為例，可以得到其二進位制的表示格式如下

S(第31位)
P(30位到23位)	M(22位到0位)

其中S是符號位，只有0和1，分別表示正負；P是階碼，通常使用移碼錶示（移碼和補碼只有符號位相反，其餘都一樣。對於正數而言，原碼，反碼和補碼都一樣；對於負數而言，補碼就是其絕對值的原碼全部取反，然後加1）

為了簡單起見，本文都只討論單精度浮點數，雙精度浮點數也是用一樣的方式儲存和表示的。

2 浮點數的表示約定

單精度浮點數和雙精度浮點數都是用IEEE754標準定義的，其中有一些特殊約定。

（1） 當P = 0, M = 0時，表示0。

（2） 當P = 255, M = 0時，表示無窮大，用符號位來確定是正無窮大還是負無窮大。

（3） 當P = 255, M != 0時，表示NaN（Not a Number，不是一個數）。

e為8(單精度)或者13(雙精度)

當我們使用.Net Framework的時候，我們通常會用到下面三個常量

Console.WriteLine(float.MaxValue); // 3.402823E+38
Console.WriteLine(float.MinValue);  //-3.402823E+38
Console.WriteLine(float.Epsilon);    //  1.401298E-45
//如果我們把它們轉換成雙精度型別，它們的值如下
Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MaxValue)); // 3.40282346638529E+38
Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MinValue));  //-3.40282346638529E+38
Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.Epsilon));    //  1.40129846432482E-45

那麼這些值是如何求出來的呢？
根據上面的約定，我們可以知道階碼P的最大值是11111110（這個值是254，因為255用於特殊的約定，那麼對於可以精確表示的數來說，254就是最大的階碼了）。尾數的最大值是11111111111111111111111。
那麼這個最大值就是：0 11111110 11111111111111111111111。
也就是 2 ^(254-127) * (1.11111111111111111111111) ₂ = 2 ¹²⁷ * (1+1-2 ^-23 ) = 3.40282346638529E+38
從上面的雙精度表示可以看出，兩者是一致的。最小的數自然就是-3.40282346638529E+38。
對於最接近於0的數，根據IEEE754的約定，為了擴大對0值附近資料的表示能力，取階碼P = -126，尾數 M = (0.00000000000000000000001) ₂ 。此時該數的二進位制表示為：0 00000000 00000000000000000000001
也就是2 ^-126 * 2 ^-23 = 2 ^-149 = 1.40129846432482E-45。這個數字和上面的Epsilon是一致的。
如果我們要精確表示最接近於0的數字，它應該是 0 00000001 00000000000000000000000
也就是：2 ^-126 * (1+0)  =  1.17549435082229E-38。

3 浮點數的精度問題
浮點數以有限的32bit長度來反映無限的實數集合，因此大多數情況下都是一個近似值。同時，對於浮點數的運算還同時伴有誤差擴散現象。特定精度下看似相等的兩個浮點數可能並不相等，因為它們的最小有效位數不同。
由於浮點數可能無法精確近似於十進位制數，如果使用十進位制數，則使用浮點數的數學或比較運算可能不會產生相同的結果。
如果涉及浮點數，值可能不往返。值的往返是指，某個運算將原始浮點數轉換為另一種格式，而反向運算又將轉換後的格式轉換回浮點數，且最終浮點數與原始浮點數相等。由於一個或多個最低有效位可能在轉換中丟失或更改，往返可能會失敗。

單精和雙精浮點數的有效數字分別是有儲存的23和52個位，加上最左手邊沒有儲存的第1個位，即是24和53個位。

由以上的計算，單精和雙精浮點數可以保證7位和15位十進位制有效數字。

最後在尾數的後面補0，一直到補夠23位，就是：01100100110111000000000。

再回來看指數，根據前面的定義，P-127=15，那麼P = 142，表示成二進位制就是：10001110。

45678.0f這個數是正的，所以符號位是0，那麼我們按照前面講的格式把它拼起來，就是：0 10001110 01100100110111000000000。

這就是45678.0f這個數的二進位制表示，如果我們要得到16進位制的表示，非常簡單，我們只需要把這個二進位制串4個一組，轉換成16進位制數就可以了。但是要注意的是x86架構的CPU都是Little Endian的（也就是低位位元組在前，高位位元組在後），所以在實際記憶體中該數字是按上面二進位制串的倒序儲存的。要知道CPU是不是little endian的也很容易。

BitConverter.IsLittleEndian;