黎曼猜想是否會對密碼學的安全產生影響
文 | 致遠博士
最近由於黎曼猜想可能被證明，網上充滿了討論，甚至波及到了區塊鏈。有新聞說如果黎曼猜想被證實的話，將危及公鑰密碼學的安全。所以今天談談我對這件事的看法。
由於網際網路上使用的都是公鑰密碼，所以網際網路也都不安全了。更具體的猜測是，由於黎曼猜想和素數有關，所以RSA密碼體質將會被攻破。
以上猜測搞得人心惶惶，皆因大家的好奇心，說來也是好事。一個數學界的新聞能讓大家如此關注。我也查了國外一些網站的說法。
由於我是搞密碼學的，又涉足區塊鏈界，所以有些群友不斷在問我。為此我以我的理解及所查的資料，對以上說法進行正本清源。
1. 首先我說結論
第一，黎曼猜想早在1859年就提出，而我們用的公鑰密碼是在70年代末提出的。所以，如果黎曼猜想會對破解RSA加密演算法有什麼幫助的話，一定會早有論文提出。然而，至今為止也沒有看到有相關論文顯示黎曼猜想會對破解RSA有什麼直接效果。
第二，區塊鏈上用的密碼演算法只有兩個：雜湊函式和數字簽名。雜湊函式和素數沒有關係，所以和黎曼猜想沒有關係。數字簽名使用的是橢圓曲線上的方案，所以與大整數分解沒有關係，從而和黎曼猜想也沒有關係。
所以，黎曼猜想對公鑰密碼沒有直接的任何威脅。對區塊鏈的安全也沒有任何影響。
為了讓大家更好地理解上述結論，我們先來解釋一下什麼是黎曼猜想。
2. 什麼是黎曼猜想
要說清黎曼猜想，首先得說素數。素數在自然數中是一種特別的數，它只能被1和自己整除。說白了，素數沒有因子，就像一個人沒有後代（比喻略顯不恰當）。素數的這種孤零零的特性，使得它是整個自然數的“基石”。因為它不能再被分解了，所以只能去構造其他數。
因此有個結論，每個自然數都可以唯一地分解成有限個素數的乘積。而且素數的個數是無限的。
素數如此特別，數學家們試圖搞清楚如何判斷一個數是素數。給你一個小的數，例如7，你很容易判斷它是素數。但是當給你一個很大的數字時，判斷一個數是否為素數，是需要方法的。由此產生了素數判定的演算法。
為了更好地理解素數，數學家們在 19 世紀便不再嘗試預測素數的精確位置，轉而將素數的現象視為一個整體。這種分析的方法就是黎曼所擅長的，他著名的猜想也由此得出。
為了理解素數是如何分佈的，高斯給出了一個素數計數函式 π(x) ，它能夠給出某個數之前的素數的數量（即有多少個素數）。
隨後，高斯（和勒讓德獨立地）提出了素數定理：當x增長到無窮大時，素數計數函式 π(x) 會近似於 x/ln(x) 函式。這意味著前x個整數中連續素數之間的平均間隙約為 ln(x)。換句話說可以用x/ln(x)近似π(x)。
然後又出現了對數積分函式 Li(x)，數學家發現 Li(x)能夠比x/ln(x)更好的近似π(x)。說明 Li(x)能夠更好的刻畫素數的個數。
然而，素數定理所預測的分佈規律與實際仍然有所偏差，而且時大時小。這一切引起了黎曼的注意。
1859年，年僅33歲的黎曼發表了論文《論小於已知數的素數個數》。在該文章中，黎曼定義了一個函式：黎曼 zeta 函式。在論文中黎曼給出了一個推測：黎曼 zeta 函式的所有非平凡零點可能都全部位於實部等於1/2的直線上。
具體內容各位可以忽略。那麼黎曼 zeta 函式的非平凡零點有什麼用呢？
黎曼用 Li(x)以及zeta 函式的非平凡零點，給出了自己的素數定理，即更準確地估計數字 x 以內有多少個素數。
這一精確的刻畫素數個數的定理，讓黎曼大放光彩。
到此為止，我們說了黎曼猜想是什麼？
簡而言之，就是給出了數字 x以內更精確的素數個數的公式。
3. RSA基於的困難問題
RSA所基於的困難問題是“大整數分解困難問題”。即給你一個大的整數，對其分解為素數之積是困難的。這是RSA加密演算法的安全性基礎。
目前對大整數分解用的方法主要是數域篩法，但是這些方法都不能有效的分解大整數。
黎曼猜想是巨集觀上對素數的分佈有個判斷，它不能直接求素數，也不能對一個整數進行素數分解。目前根據文獻，黎曼猜想對於生成素數，例如RSA中的金鑰生成演算法，是有幫助的。但是對於整數分解演算法並沒有直接的提升。所以不會對RSA加密體質有任何影響。
大家一定要區分素數檢測和整數分解是兩回事。很多人都認為是一回事，這是產生錯誤的根源。
對於黎曼猜想的證明，大家更多的認為可能會對數域的結構有個更好的認知。從某些方面，可能會對密碼學有所啟示。