阿蒂亞是如何證明“世紀之謎”黎曼猜想的?
出品| 新浪科技《科學大家》
撰文| 張軒中 科普作家，網際網路週刊新媒體業務部總監
在演講開始前，他公開了這篇研究論文，總共5頁。在論文中，藉助量子力學中的無量綱常數α（fine structure constant），阿蒂亞聲稱解決了複數域上的黎曼猜想。
在這個論文的引言部分，阿蒂亞說他希望理解量子力學中的無量綱常數——精細結構常數。
這讓人很震驚，因為精細結構常數大約等於1/137，刻畫的是電磁相互作用的強度。比如在氫原子中，我們大致可以說電子繞原子核的速度是1/137再乘上光速。
這個東西物理學家已經理解得很深了。隨後，阿蒂亞指出，理解精細結構常數只是最初的動機。在這個過程中發展出來的數學方法卻可以理解黎曼猜想。
隨後，阿蒂亞談到了黎曼猜想。他說在他的證明過程中，他引入了一個新的函式，這個函式叫做todd函式。有意思的是，todd 是他的導師。
據阿蒂亞說，todd函式是一個弱解析函式…… 但中間過程不好理解，這裡就先不過多展開了。
最後，在論文的最後，阿蒂亞說，精細結構常數與黎曼猜想，用他的方法，已經被解決了。當然他只解決了複數域上的黎曼猜想，有理數域上的黎曼猜想，他還需要研究。另外，隨著黎曼猜想被解決，阿蒂亞認為，bsd猜想也有希望被解決。當然，現在阿蒂亞認為，引力常數G是一個更難理解的常數。
“牛”論文的讀後感
這就是阿蒂亞論文的大概意思。
讀了這個論文，我倒是很平靜。因為論文太短，看起來不是那麼牛，而且充滿了物理味道。其實，我還是想知道，黎曼猜想中為什麼出現一個固定的常數1/2
在黎曼猜想中，我們看到非平凡零點的實部都等於1/2，這是一個讓人很意外的常數。雖然我們可以從一個簡單的對稱關係中看出為什麼會出現1/2。
1-s=s，所以 s=1/2
但是，1/2為什麼那麼特殊？這個數字有什麼對稱性嗎？體現了什麼週期性嗎？好像都沒有。如果我們用物理學的眼光來看，我們會覺得1/2這個數是特殊的。（不是很好理解為什麼上帝要特別選擇這個數字來作為黎曼猜想的答案？為什麼不選1/3或者1/7？難道是因為2是第一個素數嗎？）在我看來1/2它不具備那種“廣義協變性”。
如果在黎曼猜想中，出現的常數不是1/2，而是圓周率，那會讓我覺得這個事情要優美一些。現在出現的卻是1/2，這無疑讓人覺得黎曼猜想不是一個涉及到宇宙本質的猜想，而僅僅是一個比較粗糙的數學半成品。宇宙中可能還存在比黎曼猜想更基礎的更重要的數學現象。
“牛”論文的參考文獻
阿蒂亞在證明黎曼猜想的論文中提到了另外一篇參考文獻，這個參考文獻被叫做“文獻2”，這個文獻的題目是“精細結構常數”。
在這個論文的一開頭，阿蒂亞就寫了幾個字：
“獻給莉莉”
現在還不太清楚這個莉莉是他女兒還是妻子，或者其他女性。
阿蒂亞證明黎曼猜想的工作，與他一開始研究精細結構常數有非常大的關係。精細結構常數是量子物理學中的一個基本的常數，其數值大概等於1/137。 這個常數是比較巧合的，因為宇宙的年齡大概是137億年。所以，如果不考慮誤差，那麼137這個數字就是很特殊的。
阿蒂亞說，以前有一個叫愛丁頓的人，注意到 136=8+128
其中8等於2的3次方，而128是2的7次方。而這些數字與所謂的克利福德代數有關。著名物理學家、引力波專家陳雁北認為，這只是把數字寫成了2進位制，其實也不能說明什麼。但是，當時的愛丁頓只能看到136，現在還必須加上1，才能得到137。
隨後，阿蒂亞給出了他的理由，為什麼137會出現。
但是，問題來了，阿蒂亞給出的這個精細結構常數在物理學家眼裡其實不是常數，因為根據量子場論的最新研究成果，精細結構常數其實刻畫的是電磁相互作用的強度，物理學家稱之為“耦合常數”。但耦合常數其實不是真的常數，它是會跑動的——也就是會隨著時間變化。這就叫做running的常數。
所以，大多數物理學家對數學家阿蒂亞試圖證明1/137是一個常數覺得很尷尬，啞然失笑。
確實，根據所謂的重整化群方程，耦合常數是跑動的，不是真的常數。在物理上，這可以被看成是隨著能量的增加，相互作用強度的改變。
阿蒂亞是不管物理學家如何想，因為作為數學家，他有他自己的想法。阿蒂亞認為，精細結構常數應該像圓周率一樣，具有同樣的數學上的意義。
在阿蒂亞的“精細結構常數”的論文中，阿蒂亞寫到，在18世紀中葉，數學家尤拉發現了圓周率與尤拉自然常數以及虛數單位i之間存在一個關係。所以，他希望找到尤拉的這個關係在四元數領域到底有沒有類似的關係。
四元數是當時的英國數學家哈密頓發現的。這是阿蒂亞的另外一個基本的思路。他看來時要發展四元數的尤拉公式，然後對精細機構常數的來歷有所說明。
隨後，阿蒂亞提到了他在1950年代的合作者希茲布魯赫的工作。在那個時代，希茲布魯赫發展了關於todd虧格的理論。這個理論可以把幾何學與拓撲學聯絡起來。在這個基礎上，阿蒂亞與辛格等人發展了指標定理，而這個定理對數學物理學家很有用。
所以，在“精細結構常數”這個論文中，阿蒂亞用數學解釋了137這個數字的來歷。而且他把這個常數與圓周率以及尤拉的常數聯絡在了一起。
他在這個時候提到了重整化，看起來他還是很懂物理的。他說，重整化其實刻畫的就是耦合常數隨著能量的改變而改變的過程。他說，物理學家是用費曼圖這類工具來處理這個問題的，而且物理學家的做法是依賴於實驗的。但阿蒂亞認為，他自己的做法是數學化的。
隨後，阿蒂亞開始了他用數學化的手段推導精細結構常數的過程。
在這個過程中，阿蒂亞令人震驚得提到了尤拉的7橋問題。隨後他又提到了希茲布魯赫的工作馮紐曼的工作。
在這個文章中，結構太過龐雜，他還提到了他的合作者鮑特的工作。這看起來很像是他人生的回憶錄。在這裡他得到了結論：
137=1+8+128
在這裡1就是2的0次方。所以正如陳雁北說的那樣，他是把137寫成了2進位制。
黎曼猜想是怎麼回事呢？
黎曼猜想是黎曼在1859年提出來的一個猜想，說白了就是與整數的求和有關。比如1+2+3+4+5+……一直加下去等於多少？高斯小的時候，能一直加到100，說答案是5050。
但是，黎曼不是這樣看這個問題的。
黎曼把這個求和擴充套件了，他定義了一個求和f（s），其中s可以是任意複數。而高斯做的那個問題，相當於黎曼的一個特例，也就是f（-1）。特別要強調的是，f（1）是發散的，沒有定義。其實就是解方程，也就是讓f（s）=0，然後黎曼用一種很神祕的數學技巧解了這個方程，他只解出了不超過10個解，然後一看這寥寥無幾的解，他發現這幾個解全是複數，但複數的實部全是1/2。於是，黎曼猜想這個方程的解的實部都是1/2。打個比方就是，1859年，黎曼看到3箇中國女人全是裹腳的，她猜想所有中國女人都裹腳。
這個猜想太難，一直沒有被解決。
阿蒂亞爵士其人其事
Atiyah做數學喜歡與別人合作，他有很多合作者。他的三個主要的合作者是：
1、 Raoul Bot，他們在一起發展了 Atiyah–Bott不動點定理。Raoul Bot是一個工程師出身的數學家，有著名的“ Bot週期律”傳世。
2、 Isadore M。 Singer ，他們一起發展了Atiyah–Singer 指標定理。這個定理認為，一個微分流形上的微分運算元的解空間可以揭示出流形的拓撲結構。
3、 Friedrich Hirzebruch，他們一起發展了拓撲 K理論。
這三個人都是阿蒂亞 1955年在普林斯頓高等研究院的那一年認識的。所以，現在如果阿蒂亞是一個人證明黎曼猜想，那麼這看起來還是比較懸的一件事情。因為黎曼猜想很難，而看起來 Atiyah並不太擅長一個人做研究。
Atiyah1966年獲得數學的最高獎——Fields 獎金，當時他才37歲。得過這個獎的，華人只有丘成桐與陶哲軒。
後來他在英國的劍橋大學做數學教授，他的學生中也有很牛的人，比如1983年的Simon Donaldson，也是因為用量子場論的方法證明了四維流形上有無窮多個微分結構獲得1986年的Fields 獎金。
黎曼猜想如果真的被阿蒂亞爵士證明，那麼阿蒂亞爵士將成為繼高斯黎曼之後最偉大的數學家之一，因為這個問題是數學界最難的問題，與素數有關，一旦被破解，也許我們地球上所有基於RSA密碼的電腦系統都將變得不安全。
總的說來，阿蒂亞的文章非常龐雜，需要很長的時間才可以看明白他的基本意思。但毫無疑問，這個文章解釋了137的來歷。隨後，按照類似的方法，阿蒂亞證明了黎曼猜想。
雖然我們現在不能完全確認阿蒂亞對黎曼猜想的證明是沒有硬傷的。但他在89歲高齡的這一場戰鬥看起來充滿了畫面感。
我想，歷史會記得他的工作。