換個姿勢學數學：函式和方程本質上是一回事
UX005
在 上一次的討論 UX004 中 ，留下了一個“拆彈問題”。
解決這個問題的主要方法是“解方程”。
方程是啥?
方程這個詞其實常常聽到，但是具體是啥，估計很多人早就忘了。
定義：有代數的等式叫方程式。
所以，方程和函式本質上就是一種東西，他們就可以用解析式來表示，也可以用影象來表示。
如果函式的定義是“狹義”的,也就是“單值函式”：確定的引數,只能對應唯一的輸出值。
那麼他們算是有一些區別。
比如： y=x^2 和 x=y^2 ,如果函式的定義是狹義的,那麼第二個方程就不能算是函式。
一種東西為什麼有兩個名字呢?
一個是之前提到的“單值函式”問題。在這種狹義的定義下，是不完全一樣的。
另外，在說“方程”時,往往想找到確定的“解”，從影象上來說，也就是找到“點”。
談論“函式”的時候,往往想描述“對應關係”,這是一種變化過程，也可以說是方程的“解集”。
從影象上來看就是密密麻麻的一堆點，點連一在起就會形成圖形，這就是函式的影象。
不定方程
首先提一下：多個方程可以合併在一起形成“方程組”，這個過程叫做“聯立方程組”。
繼續說回函數與方程的關係。
y=x^2-2x-2 ，它既是一個函式，又是一個方程。
由於這種方程有無數個解，習慣上我們並不叫它“方程”，如果非要叫的話，這種東西叫做 “不定方程” 。
如果一個方程組中方程的數量,少於其未知數的數量,那麼這種方程就被我們稱為“不定方程”。
如果未知數的數量很多，那麼最後的解也非常多，我們就偏向於觀察它的對應關係；但是當有多個影象時(聯立方程組)，他們就可能會存在“交點”，這個時候我們就可以觀察到具體的某個點。
這就是解方程的基本原理。
解方程
上一次我們提到的那個問題其實就是求方程組的“解”(也叫做“根”)，其實座標系的X軸也是一個函式， y=0 ，它是一個“零次函式”或者說“常值函式”。
求解方程的方法
解方程是一項非常繁瑣而枯燥的工作。
自從有了計算機之後，少有人再去幹這種苦活累活。
這種無聊的事情最適合計算機來做了，所以說“計算機大大的延長了數學家的壽命”。
在 前言 中說過，這一系列文章中使用的數學軟體主要是Geogebra(負責幾何繪圖)和Mathematica(負責解方程等)。
Mathematica 是世界上最著名的數學軟體之一，他最重要的特點就是上手簡單，語法和數學語言很接近。
Mathematica 可以很快的解決我們剛才提出的那個“拆彈”問題。
它幾乎在瞬間就給出了正確答案。
Mathematica 非常智慧和友好
Mathematica也非常智慧,輸入時可以自動提示相關的引數。
之所以選擇 Mathematica ,還有一個重要原因，就是它也的中文資源非常多,軟體都是漢化版的，並且自帶中文幫助文件。
正因為它如此易於使用，所以在這裡我們也不會介紹它的使用方法,如果需要請自行翻閱相關文件和書籍,例如《Wolfram 語言基礎入門》和《 Mathematica 實用程式設計指南》。
方程的通解[1]
既然第二次函式都可以變成 y=ax^2+bx+c(a≠0) 的形式。有沒有可能求出一個“通解”，也就是用待定係數(常數)a/b/c表示的一種通用解?
讓 Mathematica 告訴我們答案。
但並不是所有的方程都會有這種“通解”。
一元五次方程就是沒有的。
與“通解”相對的一個概念叫做“特解”，也就是說，方程中的所有“係數”都已確定。
通解不需要記憶
天吶！這一串東西實在是太恐怖了，該怎麼記住呢？
通解是不需要記憶的。
如果用的多了，自然就會記住一些簡單通解，二次函式通解就是非常簡單的。
正如 "每個人" 都記著二次方程的解；"沒有人" 記得三次方程的解。[2]
方程的實根
函式影象的交點就是方程的根，不過僅僅是“實數根”。
拿“二次函式實數通解”來說吧，這個式子可能是沒有意義的。
因為他有個根號，根號內的數值如果是負數，那麼就不在“實數域”內，在高中所有的定義域預設為“實數域”。當時我們只需要知道“無實根”就可以了，先不要繼續往下探究。
出現這種情況，就代表著影象沒有交點；如果計算出來是一個值那麼就代表有一個交點，兩個值就代表有兩個交點；以此類推。
符號的變化
因為,有零點就表明函式影象穿過了x軸,也就是改變符號。
所以說只要函式是連續的,每經過一次零點,那麼符號就會改變一次;如果符號改變了，那一定是已經經過了零點。
關於二次函式的一些結論
“通解”出來了之後，我們可以根據對稱的性質，求出對稱軸的解析式。
進而通過這兩個式子，歸納出廣義二次函式的一些特性。
這裡我就不挨個寫了，從教輔上直接摘抄一張圖片，有興趣的可以多看看：
總結
- 有代數的等式叫方程式
- 廣義上的函式和方程幾乎是一回事。
- 兩個函式影象的“交點”就是他們函式解析式方程組的“實數解”。
- 解方程是一項繁瑣的工作，目前主要由計算機來完成。
- 不是每一個方程都有“通解”。
註釋
[1] “通解”的準確定義，我好像並沒有查到。好像只是定義在 線性微分方程 領域中。如果確實是如此，那就是我自己的定義，以後衝突再改吧，這個東西叫著爽。
[2] 摘自 https://cloud.tencent.com/dev...
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