當量子計算遇上神經網路與深度學習，QNN初探（ Quantum Neural Networks），David 9的量子計算系列#1

摘要： 曾經的存在主義與結構主義的爭論，在量子世界中似乎用概率和大量抽樣完成了和解 — David 9 上世紀60年代哲學界有一場關於 存在主義 與 結構主義 的爭論： 存在主義 認為一個人的發展是由“ 自由意識 ”和慾望主導的; 結構主義 認為佔主導的其實是社會中的經濟、政治、倫理、宗教等 結...

曾經的存在主義與結構主義的爭論，在量子世界中似乎用概率和大量抽樣完成了和解 — David 9

上世紀60年代哲學界有一場關於 存在主義 與 結構主義 的爭論： 存在主義 認為一個人的發展是由“ 自由意識 ”和慾望主導的; 結構主義 認為佔主導的其實是社會中的經濟、政治、倫理、宗教等 結構性因素 ，人只是巨大結構中的一部分。

究竟是什麼塑造了一個人也許難以確定。而對於 量子世界 ，一個 qubit（量子位元）的狀態 ，不僅受到量子系統的磁場影響，qubit本身也有自身狀態的 變化概率和擾動 。我們一會兒可以看到，量子系統的輸出，即那個qubit的 最終觀測狀態 ，是用概率和 大量抽樣 判定的:

在細講 QNN前（量子神經網路其實是一個量子系統） ，David 9 有必要介紹一下 量子計算 本身的一些基礎知識 。

首先，量子計算與傳統計算機的不同，可從 qubit （量子位元）說起，我們知道與電子計算機非 “0” 即 “1”相比 ，qubit的狀態可能 同時介於“0”和“1”之間 ：

即所謂的“ 薛定諤的貓 ”的 疊加態（superposition）：

\(\frac{1} {\sqrt{2}}\)(|0>+|1>)（在量子物理中符號 |x> 表示狀態x）

你們可能會問David，為什麼狀態係數是 1/\(\sqrt{2}\) ? 這是量子物理中的一個約定（規範化），即 平方和等於1 ：

α^2+β^2=1

其中 α 和 β 就是狀態的 係數 ，是不是讓你聯想到圓形幾何 ？

是的，在量子物理中可以把qubit想象成粒子球體（疊加或非疊加態）：

三維世界中qubit的自旋狀態非常靈活，可以 上自旋（|0>） ，可以 下自旋（|1>） ，可以像地球一樣 斜著自旋 ：

當然也可以 疊加態自旋（\(\frac{1} {\sqrt{2}}\)(|0>+|1>) ）

有了這麼多種 qubit 狀態，從根本上導致量子計算的資訊量級比傳統計算機大的多。

傳統的 2個bit位 的計算機只能編碼4種狀態： 00 , 01 , 10 , 11 ，因為它只有2個位的自由度，所以 n個bit位能編碼的資訊只有2^n （即\(2^n\)）

而如果一個量子計算機有 2個qubit ，傳統計算機的 00, 01, 10, 11這些狀態就可以同時出現 ， 這4個狀態本身變為4個自由度 ：

這就 導致它能編碼2^4=16種狀態 ，即我們需要同時確定 00, 01, 10, 11 四個狀態各自的出現概率，才能得到這個系統狀態的聯合概率。所以 n個qubit能編碼的資訊有2^(2^n) （即\(2^{2^n}\)）

這樣的計算量級，使得 2018年google的 72個 qubit量子計算機 就可以稱霸業界。感興趣可以計算一下2^(2^72) （即 \(2^{2^{72}}\) ）是一個多麼龐大的數字。但是要保持穩定的量子系統，需要苛刻環境和極低的溫度（-273攝氏度非常接近絕對零度）：

有了以上這些基本知識，跟著David 9再在來看 Google的這篇QNN設計的論文 ，就能更好理解量子計算是如何與 深度學習（神經網路 ）結合的了。

首先看基本QNN架構：

輸入輸出和一般的神經網路（深度學習）相似。唯一區別是QNN的 輸入|ψ, 1>是n+1位qubit的狀態 （這個狀態是 事先根據輸入樣本編碼準備 的，其中n是樣本，1是輸出qubit的佔位）。而輸出是經過一系列 U(θ) 變換最終得到的一個qubit在三維中 Y軸 的觀察 Yn+1 ：

為了容錯並得到可靠輸出， Yn+1 需要經過 多次觀測得到0或1的輸出“label” （當然，一個qubit狀態很少正好上自旋，而是一個求約的概率估計）

接下來看 U(θ) 和 U L (θ L ) 這些計算操作是什麼？其中 θ  即傳統神經網路中的待訓練的引數（神經網路中的 權重 ） 。而對於 U （即上圖中的一個個 小方塊 ），和傳統計算機的計算門（ “與或” 門， “或” 門 “否” 門）類似，量子計算中，常用的是線性操作的 unitary歸一門（unitary operations） 。可以把他想象成一個線性矩陣，它有一個很好的性質： 通過unitary轉換之後，兩組qubit狀態的內積值不變 。

即如果兩組狀態的內積用 <Φ|Ψ> 表示，即：

那麼：

即經過 U  轉換後，內積值不變。（其中 U+ 號表示 U 矩陣的 共軛矩陣 ）

內積值不變不僅可以幫助我們之前提到的歸一化約定： α^2+β^2=1 。而且當我們在QNN中對於 θ  求梯度更新時，梯度不會太大， 天然地防止了傳統神經網路中的“梯度爆炸” 問題。事實上，QNN的loss函式和一般的神經網路類似：

其中z是樣本編碼， l(z) 是真實樣本的label，

這樣， QNN通過不斷對最後一個qubit的 Yn+1 的觀測，與真實樣本label比較，得到一個修正值，修正神經網路中的 θ 引數，並且根據 θ 引數調整每個unitary歸一門操作 ，不斷進行迭代並更新每個unitary歸一門 ，直到QNN每次預測的 Yn+1 與真實樣本的label一致。

另外，傳統深度學習的成功更多地是 歸功於引入非線性的啟用函式（Tanh, ReLu, softmax） , 那麼量子神經網路 QNN 如何引入 非線性 的呢 ？其實答案在架構圖中就可以找到：

如上圖，每一層 U 門（unitary變換）的輸入，都是由上一層 U 門通過不同連線組合連線的，這裡的不同組合就是 非線性 的（雖然 U 門本身是線性的）。

最後，值得注意的是，對於整個量子神經網路的容錯文章也做了探討和考慮，在U門操作中加入了奇偶校驗和 reed-muller編碼 （一種比海明碼高效的校驗避編碼）。具體David就不展開了。

對於文章不合理以及解釋不當的地方希望大家積極指出。願在新的一年Dvaid可以和大家繼續探索量子計算世界，特別是結合機器學習與深度學習的領域，以及一些實際的量子計算專案與程式碼。

新年快樂 ！！！

參考文獻：

1. Classification with Quantum Neural Networks on Near Term Processors
2. https://www.quantiki.org/wiki/basic-concepts-quantum-computation
3. https://github.com/adamisntdead/QuSimPy
4. https://ai.googleblog.com/search/label/Quantum%20AI
5. https://github.com/quantumlib/Cirq
6. intriganod的量子計算youtube教學視訊
7. How Does a Quantum Computer Work? youtube教學視訊
8. 量子的unitary變換講解視訊
9. https://www.slideshare.net/ProjectStudent/error-checking-and-correction-parity-bit-majority-voting-check-digit
10. https://baike.baidu.com/item/reed-muller/407684
11. https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices

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