abc 猜想證明是否有效？三位數學界大牛激辯
9 月 20 日，波恩大學的彼得·舒爾茨（Peter Scholze）和歌德大學的雅克比·斯提克斯（Jakob Stix）發文稱，京都大學天才數學家望月新一（Shinichi Mochizuki）從 2012 年發表的一系列證明 abc 猜想的長篇論文中存在“嚴重的，不可修復的漏洞”，而 abc 猜想是數論中影響最為深遠的問題之一。
圖 | Peter Scholze 和 Jakob Stix 認為 abc 猜想仍未被證明（來源：京都大學）
圖 | 望月新一（來源：京都大學）
儘管數學家們已經在檢驗望月新一的證明上花了大量功夫，但是很多數學家仍然在檢驗論文中的潛在假定。望月新一的論文加起來超過了 500 頁，晦澀難懂，還引用了超過 500 頁的自己的其他論文。以至於斯坦福大學數學家布萊恩·科納德（Brian Conrad）覺得“這簡直是個無窮無盡的遞迴表示式”。
根據諾丁漢大學伊萬·菲森科（Ivan Fesenko）的郵件，12-18 名數學家研究過證明之後，認為證明是成立的。但是科納德在去年 12 月的部落格中表示，認可該證明的大多數是望月新一圈子內的人，而這個小圈子之外的人，即使是在私下裡，也沒有一個敢說這個證明站得住腳。
不過，弗蘭克·卡萊加里（Frank Calegari）去年 12 月發表的博文稱，“數學家也不願意判定這個證明不成立，因為他們確實沒有找出致命錯誤到底在哪裡。”
然而，近日有 2 名數學家出來踢館。在文章中，舒爾茨和斯提克斯宣稱，望月新一 4 篇論文中的第 3 篇論文，其接近結尾處對“推論 3.12”的證明，存在根本性缺陷，而該推論是望月新一對 abc 猜想的證明的核心。
舒爾茨表示，他認為 abc 猜想仍然沒有獲得證明，任何人都還有機會摘取桂冠。
圖 | Peter Scholze。本月早些時候獲得菲爾茲獎（來源：維基百科）
舒爾茨和斯提克斯的結論並不僅僅基於他們自己的論文。他們在 3 月花了 1 周時間去京都大學拜訪望月新一和他的同事保志雄一郎（Yuichiro Hoshi），與他們討論證明過程。這次對他們得出最終結論幫助很大，他們最終認定“證明不成立”。
不過顯然，望月新一和踢館二人組誰也沒有說服誰。望月新一把踢館二人組的文章掛在自己的網頁上，並附加了自己的反駁意見。不過，望月新一和合作夥伴拒絕對第三方採訪發表評論。
在反駁意見中，望月新一認為踢館二人組的批評“完全沒有理解自己的工作”，“自己的工作沒有任何漏洞”。
望月新一和踢館二人組都是數學界享有盛名的專家，因此這次爭鬥在數學界引起廣泛關注。年僅 30 歲的舒爾茨以火箭速度成為頂級數學家，今年 8 月剛剛獲得數學界最高獎項菲爾茲獎。斯提克斯對於望月新一的領域——阿貝爾幾何——非常熟悉
科納德表示，踢館二人組都是非常謹慎和思慮周密的數學家，他們的任何意見都值得認真考慮。
望月新一證明過程中的阿基里斯之踵
科納德將 abc 猜想稱為“數論中最突出的猜想之一”。該猜想的起點是一個最簡單的等式：a + b = c。a，b 和 c 是正整數，且不能有任何公共的素因子。8 + 9 = 17 和 5 + 16 = 21 滿足這個等式，而 6 + 9 = 15 不滿足，因為 6,9 和 15 有共同的素因子 3。
這個等式有 2 種情況：5 + 16 = 21 中，有素因子 5，2，3，7，這 4 個數字的乘積等於 210，遠遠大於等式中的任何一個數字。而對於 5 + 27 = 32，素因子是 5,3,2，乘積只有 30，小於 32。這是因為 27 和 32 都只有很小的素因子 3 和 2，只不過這些素因子的高次方組成了等式中的數字。
然而，5 + 27 = 32 這樣的情況極其罕見。比如，a 和 b 介於 1 和 100 之間時，可以構建 3044 個等式，只有 7 個等式的素因子乘積小於 c。abc 猜想於 1980 年提出，認為類似於“5 + 27 = 32”的特例確實極其罕見。
更進一步地，5 + 27 = 32 中，32 大於 30，但是隻大一點點。32 小於 302，301.5，甚至 301.02——其值為 32.11。abc 猜想認為，只有有限數量的 abc 數字，能在選擇任何大於 1 的指數 x 時，令 cx 大於素因子乘積。
牛津大學的 Minhyong Kim 表示，abc 猜想是關於乘法和加法的基本猜想，該猜想有望揭露數字系統的一些基本的，前所未見的特徵。
由於 a + b = c 這個等式非常簡單，因此有很大一部分問題都屬於 abc 猜想。例如，費馬大定理可以表示為 xn + yn = zn。再比如，卡塔蘭猜想認為，8 和 9 是僅有的 2 個相鄰的次方數（8 = 23，9 = 32），這相當於等式 xm + 1 = yn。abc 猜想能對這 2 個理論提供新的證明，並解決一系列相關問題。
圖 | 雅克比·斯提克斯是阿貝爾幾何的專家，望月新一的工作屬於此領域（來源：歌德大學）
哥倫比亞大學的多瑞安·古德費德（Dorian Goldfeld）表示，abc 猜想看上去處於已知和未知的邊界上。
由於證明 abc 猜想的巨大潛在回報，數論專家認為該猜想非常難以證明。因此，2012 年望月新一證明 abc 猜想的訊息傳出後，大量數論專家積極跟蹤該工作，能妨礙他們的只有晦澀的表達方式。論文中僅僅定義就用了很多頁，而後面的定理描述更是長的了得，但是證明過程卻只有一句話：“從定義可以直接得出結論。”
卡萊加里在去年 12 月的博文中寫到：據我所知，任何一個專家分析望月新一論文的結果都是：大量結論缺乏詳細證明。
舒爾茨是望月新一證明論文的早期讀者。憑藉他超凡的數學領悟能力，他在理解證明上比大多數數論專家做的更快更好，迅速完成了 4 篇證明論文的粗讀。舒爾茨同樣被“超長定理的超短證明”搞迷糊了。對前 2 篇相關論文研讀後，他表示，儘管他直覺上認為證明成立，但是他沒什麼能肯定的。
接著，舒爾茨到達了第 3 篇論文的“推論 3.12”。數學家通常用“推論”來指代那些主要理論的次級衍生理論。然而，推論 3.12 是整個 abc 證明的核心，如果其不成立，整個證明就絕對無法成立。
圖 | 望月新一論文中被懷疑的圖 3.8（來源：京都大學）
這個推論是幾篇證明論文中僅有的一個證明長度稍微超過幾行的推論——用了 9 頁。舒爾茨閱讀證明之後，他發現了一個他認為說不通的點。
舒爾茨當時只有 24 歲，判定該證明存在漏洞。但是他沒有怎麼參與對該論文的討論，而是在一邊等待。他本來認為，其他數學家能找出論文中他沒有讀懂的東西，或者他們能得出跟自己一樣的結論。無論如何，證明成立與否的結論不會等太長時間。
愛舍爾樓梯
同時，其他數學家也在閱讀論文。很多數學家期望 2015 年下半年牛津大學舉行的望月新一專題論壇能解決爭議。然而，在會上，儘管望月新一的幾個緊密合作者解釋了證明過程，聽眾仍然覺得迷霧重重。科納德發文表示，那些認為證明成立的人，實在是需要提高一下自己的溝通水平。
科納德發文幾天後，他收到了來自包括舒爾茨在內的 3 位數學家的私下來信，內容大同小異：他們能理解證明，除了 1 個共同的點——每個人都認為，推論 3.12 非常可疑。
Kim 表示，京都大學數學家越川鬆阪（Teruhisa Koshikawa）也表達了對推論 3.12 的質疑。斯提克斯也卡在了同一個地方。越來越多的數論專家意識到，推論 3.12 是一個疑點，但是他們還不確定，到底是證明本身有問題，還是證明本身成立但望月新一沒說清楚。
2017 年下半年有傳聞稱，儘管很多數論專家感到驚訝，但是望月新一的論文已經被接受發表。望月新一本人是論文發表期刊 Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences （ PRIMS ）的總編輯，卡萊加里認為，編輯在遇到自己的論文時應該回避，望月新一也不應該例外。更令人不安的是，大多數數學家仍然覺得論文難以理解。
圖 | 望月新一在 2015 年會議上以視訊方式露面。（來源：Quanta Magazine）
芝加哥大學的馬修·埃莫頓（Matthew Emerton）表示，沒有一個自稱理解了整個證明的人能讓那些仍然迷惑不解的大批專家理解這個證明到底是怎麼回事。
卡萊加里在博文中表示，這個情況不僅對數學愛好圈還是專業數論研究者圈來說都是個“災難”——對於來自京都大學的 abc 猜想證明，一千個讀者有一千個理解。對於重要問題遲遲達不成共識是數學研究的重大阻礙。
PRIMS 雜誌最終表示，望月新一的論文尚未被接受。但是就在這一聲明發表前，舒爾茨已經決心向大眾媒體公開發表意見——這一意見他在私下已經跟很多數論專家表達過：關於證明的所有討論都嚴重缺乏學術基礎。所有人都在談論自己看到論文之後的“看法”，但是沒有一個人肯定地說，“沒人理解這個推論，因此沒人理解整個證明。”
因此在卡萊加里博文的評論欄中，舒爾茨留言公開表示，他無法理解推論 3.12 中圖 3.8 的邏輯。此外，他向大眾公開表示，“所有聲稱理解了證明過程的人都不願意承認，他們必須做更多的溝通工作以讓其他人理解證明到底在說什麼。”
森重文（Shigefumi Mori）是望月新一在京都大學的同事，也是菲爾茲獎獲得者。他邀請舒爾茨來京都，與自己和望月新一一起開一個討論會。舒爾茨邀請了斯提克斯，二人於 3 月前往京都，與望月新一和保志雄一郎舉行會談。
望月新一對 abc 猜想的證明方法是將這個問題轉化為一個橢圓曲線問題，這個變換很早之前就存在了，而且很簡單。變換後，每個 abc 等式都對應於一條橢圓曲線，在 a 和 b 這 2 個位置和座標原點處穿過 x 軸，將數論和幾何、微積分和其他領域聯絡起來。該變換是 1994 年安德魯·懷爾斯證明費馬大定理的核心工具。
abc 猜想至此變成證明 1 個與該橢圓曲線有關的特定不等式。望月新一的工作將這個不等式轉換成另外的形式。根據斯提克斯的說法，這種變換相當於比較 2 個集合中的元素個數。望月新一在推論 3.12 中對這個新的不等式進行了證明。如果這個證明成立，則 abc 猜想就得以證明。
舒爾茨和斯提克斯表示，該證明需要比較 2 個實數集合，這 2 個集合被變換為 6 個不同的實數集合中的部分元素組成的環的一部分。此外，還需要證明每個在環上的集合與自己的相鄰集合是什麼關係，為了做到這一點，就必須理解不同集合的測度之間的關係。
舒爾茨和斯提克斯相信，證明就是在這裡出了問題。在望月新一的工作中，各種測度標準彼此相容。但是當沿著環進行遍歷時，斯提克斯表示，你最終會遇到一個測度標準，這個標準看上去跟其他的測度標準都不同。這種情況類似於著名的愛舍爾樓梯——你不停地向上爬，到了最後你發現你回到了原點。
圖 | 愛舍爾樓梯（來源：維基百科）
踢館二人組聲稱，這種空間測度的不相容性意味著最終的不等式並沒有比較 2 個真正該比較的量。但是如果調整證明，使得空間測度彼此相容，那麼這個不等式又將失去意義。
研究望月新一論文的加州大學聖迭戈分校數學家基安·凱德拉（Kiran Kedlaya）表示，他認為踢館二人組已經令人信服地證明，望月新一的論證站不住腳。此外，踢館二人組的發現所隱含的意義遠遠超過二人目前所表達出來的東西。
當然，望月新一認為，這個“隱含的意義”就是證明本身。他表示，踢館二人組在數學元素之間建立了武斷的聯絡，而這些元素之間本來沒有聯絡。他進一步表示，在他跟同事討論的時候，他的同事都一致認為，踢館二人組居然會堂而皇之地公開發表這種誤解，“難以置信”，“非常可笑”。
數學家現在必須研判踢館二人組和望月新一到底誰說得對。但是舒爾茨希望他們的工作能加速對原始論文的可靠性判定，因為踢館二人組的工作並不複雜，其他數論專家完全可以讀懂這篇在踢館二人組和望月新一會面之後發表的反駁論文。
望月新一有不同的看法。他認為，踢館二人組根本沒有理解討論中的數學內容就發表批評，可能是出於對“用新方法處理傳統數學問題”的不熟悉甚至不舒服。
Kim 在郵件中表示，對望月新一證明持懷疑態度的人，可能會認真閱讀踢館二人組的文章，他本人就在這麼做。當然，他認為自己必須在下結論之前更加小心。
在過去的幾年中，很多數論專家最終放棄了理解望月新一論文的嘗試。但是如果望月新一能就他認為踢館二人組“不理解”的部分提供一份詳細且合乎邏輯的解釋，那麼數學家們可能會願意重新審讀原始證明。
舒爾茨表示，他認為望月新一目前的工作不足以構成證明，除非他能修改論文，對關鍵步驟進行更好的解釋。此外，他個人並不認為僅僅一個關鍵點子就足以證明 abc 猜想。
Kim 認為，踢館二人組的論文有望使得對 abc 猜想的理解更進一步，因此不管爭論的最終結果是什麼，反駁論文都是對數學的重要貢獻。
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