線性代數 Cheat Sheet 4-5：向量空間的維數
定理 8 蘊含向量空間 $V$ 的基 $\mathcal{B}$ 若含有 $n$ 個向量，則 $V$ 與 $\mathbb{R}^n$ 同構。數 $n$ 是 $V$ 的一個內在性質（稱為維數），不依賴基的選擇。
定理 9若向量空間 $V$ 具有一組基 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_n\}$，則 $V$ 中任意包含 $n$ 多於個向量的集合一定線性相關。
定理 10若向量空間 $V$ 有一組基含有 $n$ 個向量，則 $V$ 的每一組基一定恰好有 $n$ 個向量。
如果一個非零向量空間 $V$ 由有限集 $S$ 生成，則由生成集定理，$S$ 的一個子集是 $V$ 的一個基。
定義若 $V$ 由一個有限集生成，則 $V$ 稱為有限維的 ，$V$ 的維數寫成 $\dim V$，是 $V$ 的基中向量的個數。零向量空間 $\{\boldsymbol 0\}$ 的維數定義為零。如果 $V$ 不是由有限集生成，則 $V$ 稱為無窮維的 。
$\mathbb{R}^n$ 的標準基含有 $n$ 個向量，所以 $\dim \mathbb{R}^n = n$。標準多項式基 $\{1, t, t^2\}$ 表明 $\dim P_2 = 3$。一般而言，$\dim P_n = n + 1$。所有多項式空間 $\mathbb{P}$ 是無窮維的。
$\mathbb{R}^3$ 的子空間可以用維數分類：
- 零維子空間：只有零子空間是零維子空間。
- 一維子空間：任一由單一非零向量生成的子空間稱為一維子空間，這樣的子空間是經過原點的直線。
- 二維子空間：任一由兩個線性無關向量生成的子空間稱為二維子空間，這樣的子空間是經過原點的平面。
- 三維子空間：只有 $\mathbb{R}^3$ 本身是三維子空間，由可逆矩陣定理，$\mathbb{R}^3$ 中任意 3 個線性無關的向量生成整個 $\mathbb{R}^3$。
Contents
- 1. 有限維空間的子空間
- 2. $\mathrm{Nul}\; A$ 和 $\mathrm{Col}\; A$ 的維數
1. 有限維空間的子空間
定理 11令 $H$ 是有限維向量空間 $V$ 的子空間，若有必要的話，$H$ 中任一個線性無關集均可以擴充成為 $H$ 的一個基。$H$ 也是有限維的，並且
\begin{equation}
\dim H \leq \dim V
\end{equation}
定理 12（基定理）令 $V$ 是一個 $p$ 維向量空間，$p \geq 1$，$V$ 中任意含有 $p$ 個元素的線性無關集必然是 $V$ 的一個基。任意含有 $p$ 個元素且生成 $V$ 的集合自然是 $V$ 的一個基。
2. $\mathrm{Nul}\; A$ 和 $\mathrm{Col}\; A$ 的維數
$\mathrm{Nul}\; A$ 的維數是方程 $A \boldsymbol x = \boldsymbol 0$ 中自由變數的個數，$\mathrm{Col}\; A$ 的維數是 $A$ 中主元列的個數。