線性代數 Cheat Sheet 4-3：線性無關集和基
對於 $V$ 中向量的一個指標集 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$，如果
\begin{equation}
c_1 \boldsymbol v_1 + c_2 \boldsymbol v_2 + \cdots + c_p \boldsymbol v_p = \boldsymbol 0 \tag{1}
\end{equation}
只有平凡解，即 $c_1 = 0, \cdots, c_p = 0$，則稱 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 是線性無關 的。
如果式 $(1)$ 有一個非平凡解，即存在某些權 $c_1, \cdots, c_p$ 不全為零，使得 $(1)$ 成立，此時集合 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 稱為是先行相關 的，$(1)$ 式稱為 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p$ 之間的一個線性相關關係 。
與 $\mathbb{R}^n$ 中一樣，一個僅含一個向量 $\boldsymbol v$ 的集合是線性無關的，當且僅當 $\boldsymbol v \neq \boldsymbol 0$；一個僅含兩個向量的集合是線性相關的，當且僅當其中一個向量是另一個的倍數；任何含有零向量的集合都是線性相關的。
定理 4兩個或多個向量組成的有編號的向量集合 $\{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$（如果 $\boldsymbol v_1 \neq \boldsymbol 0$）是線性相關的，當且僅當某 $\boldsymbol v_j$（$j > 1$）是前面向量 $\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_{j-1}$ 的線性組合。
定義令 $H$ 是向量空間 $V$ 的一個子空間，對於 $V$ 中向量的指標集 $\mathcal{B} = \{b_1, \cdots, b_p\}$，如果：
(i) $\mathcal{B}$ 是一個線性無關集。
(ii) 由 $\mathcal{B}$ 生成的子空間與 $H$ 相同，即 $H = \mathrm{Span} \{b_1, \cdots, b_p\}$。
則稱 $\mathcal{B} = \{b_1, \cdots, b_p\}$ 為 $H$ 的一個基 。
集合 $\{\boldsymbol e_1, \cdots, \boldsymbol e_n\}$ 稱為 $\mathbb{R}^n$ 的一個標準基 。
Contents
1. 生成集定理
一個基是一個不包含不必要向量的“高效率”的生成集。一個基可以通過由一個生成集中去掉不需要的向量構造出來。
定理 5（生成集定理）令 $S = \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$ 是 $V$ 中的向量集，$H = \mathrm{Span} \{\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_p\}$。
a. 若 $S$ 中某一個向量（例如 $\boldsymbol v_k$）是 $S$ 中其餘向量的線性組合，則 $S$ 中去掉 $\boldsymbol v_k$ 後形成的集合仍然可以生成 $H$。
b. 若 $H \neq 0$，則 $S$ 的某一子集是 $H$ 的一個基。
2. $\mathrm{Nul}\; A$ 和 $\mathrm{Col}\; A$ 的基
定理 6矩陣 $A$ 的主元列構成 $\mathrm{Col}\; A$ 的一個基。
當矩陣 $A$ 不是階梯型時，可以將其行化簡為階梯型 $B$，來找到 $A$ 的主元列。階梯型 $B$ 的主元列通常不在 $A$ 的列空間中。
3. 關於基的兩點觀察
基是一個儘可能小的生成集，是一個儘可能大的線性無關集。