如何理解並應用貝塞爾曲線
貝塞爾曲線又叫貝茲曲線，在大學高數中一度讓我非常頭疼。前陣子練手寫動畫的時候，發現貝塞爾曲線可以應用於軌跡的繪製以及定義動畫曲線。
本文就來探究一下，貝塞爾曲線到底是個什麼樣的存在。
貝塞爾曲線原理
貝塞爾曲線由n個點來決定，其曲線軌跡可以由一個公式來得出：
其中n就代表了貝塞爾曲線是幾階曲線，該公式描述了曲線運動的路徑。
以下我們來討論一下，貝塞爾公式如何推導。
一階貝塞爾曲線
設定圖中運動的點為P t ，t為運動時間，t∈(0,1)，可得如下公式
二階貝塞爾曲線
在二階貝塞爾曲線中，已知三點恆定（P 0 ,P 1 ,P 2 ），設定在P 0 P 1 中的點為P a ，在P 1 P 2 中的點為P b ，P t 在P a P b 上的點，這三點都在相同時間t內做勻速運動。
由公式(1)可知
將公式(2)(3)代入公式(4)中，可得
三階貝塞爾曲線
同理，根據以上的推導過程可得
由此可以推導
n階貝塞爾曲線
放上一個網址，隨意感受一下貝塞爾曲線的繪製過程：
http://myst729.github.io/bezi...
實際應用
貝塞爾曲線在前端中主要有兩方面的應用，一方面可以作為動畫曲線應用於CSS3動畫中；另一方面可以通過canvas來繪製曲線達到需要的效果。
CSS3中貝塞爾曲線的應用
在CSS3中，有兩屬性經常被用到： transition-timing-function 和 animation-timing-function ,這兩個分別代表了過渡的速度和動畫的速度。CSS3為我們提供了一個新的工具—— cubic-bezier(x1,y1,x2,y2) 。這個工具能夠生成一個速度曲線，使我們的元素按照該曲線來調節速度。
在上面的推導中，我們知道在貝塞爾公式中，有兩個點的位置恆定——P0和P1， cubic-bezier 中定義了兩個控制點的位置，所以該曲線為三階貝塞爾曲線。
有個網站可以方便我們快速建立一個貝塞爾曲線： cubic-bezier
貝塞爾曲線與動畫曲線的關聯
先來一波動圖簡單粗暴的感受一下：
例一：
例二：
例三：
左邊的是貝塞爾曲線，橫軸代表了事件，豎軸代表了進度，無法直觀得感受出速度的變化。
右邊的曲線是控制面板中的動畫曲線，橫軸是時間，豎軸是速度，可以方面地看出速度的變化。
上述例子中，以前進反向為速度正方向，後退方向為速度反方向。
如何得知速度的變化
推導
例一中，貝塞爾曲線為一條直線，當時間均勻變化時，進度也在均勻變大，由此可知速度恆定不變，時間和進度之間的關係可以用一個線性方程來表示：
y=ax+b (a=1,b=0)
其中x為時間，y為進度，a即為速度。
推導案例一
從上面結論中啟發，去觀察其他貝塞爾曲線，
圖中是一段變化的曲線，我們取其中一小段，將其看作穩定不變的一段直線，通過下面的線性方程來表示，並通過紅線標註在圖中：
y=ax+b
根據初中數學的內容，我們知道，當a>1時，與x軸的夾角∈（45°,90°)；當a∈(0,1)時，與x軸的夾角在(0,45°)之間。相同的時間內，與x軸的夾角越大，a越大，速度越快。
觀察上圖的夾角變化趨勢，夾角逐漸變小趨向於0，而後逐漸變大，趨向於90°，對應速度應是速度逐漸變慢趨向於0，之後逐漸變快。
放上動畫曲線以及動圖來驗證一下我們的推測：
推導案例二
下圖中的曲線部分在第四象限，部分在第一象限，這時對應的動畫曲線該如何推導呢。
同樣將該曲線視為由n段平滑的直線構成，由線性方程來表示直線的趨勢，可知速度a方向一開始為負，之後慢慢向正方靠近，a的速率也在由大變小，當為0時，再向正方慢慢變大。即該曲線表示元素一開始在朝反方向減速運動，當速度為0後，向正方向作加速運動。
通過動畫曲線及動圖來驗證上述推導：
驗證
用兩個曲線來驗證一下上面的結論：
曲線一：
曲線二：
從結果可以判斷，用上述推導方法可以正確得出貝塞爾曲線與動畫曲線之間的關係。
動畫曲線的應用
瞭解瞭如何用貝塞爾曲線來指定動畫曲線後，很多動畫涉及到速度方面的效果就可以實現了，例如小車加速剎車，彈簧動畫等速度軌跡都可以根據自己的需要來進行定製。
放上一個緩動函式速查網址，可以讓自己的動效更加真實： 緩動函式
放一個小例子：
該動畫模擬了小球落下回彈的過程
程式碼如下：
<div class="ground"> <div class="ball" id="ball"></div> </div>
.ball {
width: 30px;
height: 30px;
background: #000000;
border-radius: 50%;
position: absolute;
top: 0;
left: 50%;
animation: move 4s cubic-bezier(0.36, 1.7, 0.26, 0.61) 1s infinite;
}
@keyframes move {
0% {
top: 0;
}
100% {
top: 90%;
}
}
這類動畫可以參考網上大大們的案例：
利用canvas繪製貝塞爾曲線
canvas中提供了api可以快速繪製一條貝塞爾曲線，來達到需要的效果：
二階貝塞爾曲線
quadraticCurveTo(x1,y1,x2,y2)
var c=document.getElementById("myCanvas");
var ctx=c.getContext("2d");
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(20,20);
ctx.quadraticCurveTo(40,200,200,20);
ctx.stroke();
其中 moveTo 定義了起始點， quadraticCurveTo(x1,y1,x2,y2) 中的 (x1,y1) 為控制點， (x2,y2) 為終點
三階貝塞爾曲線
bezierCurveTo(x1,y1,x2,y2,x3,y3)
var c=document.getElementById("myCanvas");
var ctx=c.getContext("2d");
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(20,20);
ctx.bezierCurveTo(40,100,200,150,200,20);
ctx.stroke();
其中 moveTo 定義了起始點， bezierCurveTo(x1,y1,x2,y2) 中的 (x1,y1) , (x2,y2) 為控制點， (x3,y3) 為終點
總結
為了弄清貝塞爾曲線是個什麼東西，和動畫曲線、速度又有什麼關聯，作者跑去複習了一下那些早扔給老師的東西，有說錯的請輕拍/(ㄒoㄒ)/~~
廣而告之
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