區塊鏈教程區塊鏈資訊保安3橢圓曲線加解密及簽名演算法的技術原理二
摘要：
兄弟連區塊鏈教程區塊鏈資訊保安3橢圓曲線加解密及簽名演算法的技術原理二。
橢圓曲線加解密及簽名演算法的技術原理及其Go語言實現
橢圓曲線加解密演算法原理
建立基於橢圓曲線的加密機制，需要找到類似RSA質因子分解或其他求離散對數這樣的難題。
而橢圓曲線上的已知G和xG求x，是非常困難...
兄弟連區塊鏈教程區塊鏈資訊保安3橢圓曲線加解密及簽名演算法的技術原理二。
橢圓曲線加解密及簽名演算法的技術原理及其Go語言實現
橢圓曲線加解密演算法原理
建立基於橢圓曲線的加密機制，需要找到類似RSA質因子分解或其他求離散對數這樣的難題。 而橢圓曲線上的已知G和xG求x，是非常困難的，此即為橢圓曲線上的的離散對數問題。 此處x即為私鑰，xG即為公鑰。
橢圓曲線加密演算法原理如下：
設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。
公鑰加密： 選擇隨機數r，將訊息M生成密文C，該密文是一個點對，即： C = {rG, M+rK}，其中K為公鑰
私鑰解密： M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M 其中k、K分別為私鑰、公鑰。
橢圓曲線簽名演算法原理
橢圓曲線簽名演算法，即ECDSA。
設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。
私鑰簽名：
- 1、選擇隨機數r，計算點rG(x, y)。
- 2、根據隨機數r、訊息M的雜湊h、私鑰k，計算s = (h + kx)/r。
- 3、將訊息M、和簽名{rG, s}發給接收方。
公鑰驗證簽名：
- 1、接收方收到訊息M、以及簽名{rG=(x,y), s}。
- 2、根據訊息求雜湊h。
- 3、使用傳送方公鑰K計算：hG/s + xK/s，並與rG比較，如相等即驗籤成功。
原理如下： hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s = r(h+xk)G / (h+kx) = rG
Go語言中橢圓曲線的實現
橢圓曲線的介面定義：
type Curve interface {
//獲取橢圓曲線引數
Params() *CurveParams
//是否在曲線上
IsOnCurve(x, y *big.Int) bool
//加法
Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (x, y *big.Int)
//二倍運算
Double(x1, y1 *big.Int) (x, y *big.Int)
//k*(Bx,By)
ScalarMult(x1, y1 *big.Int, k []byte) (x, y *big.Int)
//k*G, G為基點
ScalarBaseMult(k []byte) (x, y *big.Int)
}
//程式碼位置src/crypto/elliptic/elliptic.go
橢圓曲線的介面實現：
type CurveParams struct {
//有限域GF(p)中質數p
P*big.Int
//G點的階
//如果存在最小正整數n，使得nG=O∞，則n為G點的階
N*big.Int
//橢圓曲線方程y²= x³-3x+b中常數b
B*big.Int
//G點(x,y)
Gx, Gy*big.Int
//金鑰長度
BitSize int
//橢圓曲線名稱
Namestring
}
func (curve *CurveParams) Params() *CurveParams {
//獲取橢圓曲線引數，即curve，程式碼略
}
func (curve *CurveParams) IsOnCurve(x, y *big.Int) bool {
//是否在曲線y²=x³-3x+b上，程式碼略
}
func (curve *CurveParams) Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
//加法運算，程式碼略
}
func (curve *CurveParams) Double(x1, y1 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
//二倍運算，程式碼略
}
func (curve *CurveParams) ScalarMult(Bx, By *big.Int, k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
//k*(Bx,By)，程式碼略
}
func (curve *CurveParams) ScalarBaseMult(k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
//k*G, G為基點，程式碼略
}
//程式碼位置src/crypto/elliptic/elliptic.go
Go語言中橢圓曲線簽名的實現
Go標準庫中實現的橢圓曲線簽名原理，與上述理論中基本接近。 相關證明方法已註釋在程式碼中。
//公鑰
type PublicKey struct {
elliptic.Curve
X, Y *big.Int
}
//私鑰
type PrivateKey struct {
PublicKey //嵌入公鑰
D *big.Int //私鑰
}
func Sign(rand io.Reader, priv *PrivateKey, hash []byte) (r, s *big.Int, err error) {
entropylen := (priv.Curve.Params().BitSize + 7) / 16
if entropylen > 32 {
entropylen = 32
}
entropy := make([]byte, entropylen)
_, err = io.ReadFull(rand, entropy)
if err != nil {
return
}
md := sha512.New()
md.Write(priv.D.Bytes()) //私鑰
md.Write(entropy)
md.Write(hash)
key := md.Sum(nil)[:32]
block, err := aes.NewCipher(key)
if err != nil {
return nil, nil, err
}
csprng := cipher.StreamReader{
R: zeroReader,
S: cipher.NewCTR(block, []byte(aesIV)),
}
c := priv.PublicKey.Curve //橢圓曲線
N := c.Params().N //G點的階
if N.Sign() == 0 {
return nil, nil, errZeroParam
}
var k, kInv *big.Int
for {
for {
//取隨機數k
k, err = randFieldElement(c, csprng)
if err != nil {
r = nil
return
}
//求k在有限域GF(P)的逆，即1/k
if in, ok := priv.Curve.(invertible); ok {
kInv = in.Inverse(k)
} else {
kInv = fermatInverse(k, N) // N != 0
}
//求r = kG
r, _ = priv.Curve.ScalarBaseMult(k.Bytes())
r.Mod(r, N)
if r.Sign() != 0 {
break
}
}
e := hashToInt(hash, c) //e即雜湊
s = new(big.Int).Mul(priv.D, r) //Dr，即DkG
s.Add(s, e) //e+DkG
s.Mul(s, kInv) //(e+DkG)/k
s.Mod(s, N) // N != 0
if s.Sign() != 0 {
break
}
//簽名為{r, s}，即{kG, (e+DkG)/k}
}
return
}
//驗證簽名
func Verify(pub *PublicKey, hash []byte, r, s *big.Int) bool {
c := pub.Curve //橢圓曲線
N := c.Params().N //G點的階
if r.Sign() <= 0 || s.Sign() <= 0 {
return false
}
if r.Cmp(N) >= 0 || s.Cmp(N) >= 0 {
return false
}
e := hashToInt(hash, c) //e即雜湊
var w *big.Int
//求s在有限域GF(P)的逆，即1/s
if in, ok := c.(invertible); ok {
w = in.Inverse(s)
} else {
w = new(big.Int).ModInverse(s, N)
}
u1 := e.Mul(e, w) //即e/s
u1.Mod(u1, N)
u2 := w.Mul(r, w) //即r/s
u2.Mod(u2, N)
var x, y *big.Int
if opt, ok := c.(combinedMult); ok {
x, y = opt.CombinedMult(pub.X, pub.Y, u1.Bytes(), u2.Bytes())
} else {
x1, y1 := c.ScalarBaseMult(u1.Bytes()) //即eG/s
x2, y2 := c.ScalarMult(pub.X, pub.Y, u2.Bytes()) //即DGr/s
//即eG/s + DGr/s = (e + Dr)G/s
//= (e + Dr)kG / (e + DkG) = (e + Dr)r / (e + Dr) = r
x, y = c.Add(x1, y1, x2, y2)
}
if x.Sign() == 0 && y.Sign() == 0 {
return false
}
x.Mod(x, N)
return x.Cmp(r) == 0
}
//程式碼位置src/crypto/ecdsa/ecdsa.go
後記
橢圓曲線數字簽名演算法，因其高安全性，目前已廣泛應用在比特幣、以太坊、超級賬本等區塊鏈專案中。
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